Originea O(0, 0) este punctul în care mingea părăsește cupa. Catapulta stă pe un lift, într-o groapă, astfel încât cupa eliberează mingea exact la nivelul solului, în O — pentru orice unghi. Axa Ox e orizontală, axa Oy verticală; distanțele sunt în metri.
Din x(t) scoatem t = x / (v₀cos θ) și înlocuim în y(t):
Coeficientul b este panta de plecare (tangenta unghiului). Coeficientul a este mereu negativ: parabola are „ramurile în jos”.
Nu ai nevoie de calculator pentru arctg sau radical. Folosești tabelul de valori (secțiunea 12):
Coloana „1 + tg²θ” din tabel e chiar \( \dfrac{1}{\cos^2\theta} \), deci nu mai calculezi nici cos, nici pătrate. Formula vine din \( a = -\dfrac{5}{v_0^2\cos^2\theta} \).
La noi c = 0, deci Δ = b². Mai simplu: după ce ai xV, înălțimea maximă este
Introdu predicția ta pentru V în panoul de comenzi și compar-o cu măsurătoarea.
Vârful e exact la jumătatea dintre rădăcini: xV = x₂ / 2.
Metoda cu tabelul (recomandată): calculezi o singură dată k, apoi încerci unghiuri din tabel până când rezultatul e yT:
Dacă y iese prea mic, mărește unghiul (pe tragerea joasă). Metoda cu ecuația de gradul II (pentru cine vrea): cu b = tg θ obții
Două soluții: o tragere joasă și una înaltă. Apoi θ = arctg b.
Iei din tabel tg θ și 1 + tg²θ și aplici o singură formulă:
Rețeta cu numere întregi (rezultatul sistemului, deja rezolvat):
De unde vine: fiecare punct dă o ecuație; împărțind cu x, sistemul devine liniar:
Până în A(xA, yA) mingea urmează y = ax² + bx. Din A încolo gravitația trage în sus, deci a doua parabolă are aceeași |a|, dar ramurile în sus. Mingea nu „sare”: panta se păstrează (panta în A este derivata):
Punctul cel mai de jos al celei de-a doua parabole îl afli tot cu formula vârfului (cu a′ = −a, b′ = m, c′ = yA, variabila u = x − xA):
Cu a și b scrise ca fracții cu numitorul D (a = Na/D, b = Nb/D), panta are și ea numitorul D: \( m = \dfrac{2N_a x_A + N_b}{D} \).
Repeți pasul de la nivelul 4 în fiecare punct Ak. Fiecare bucată de traiectorie este o parabolă în variabila u = x − xA, cu același |a|; semnul coeficientului lui u² alternează (gravitația în sus → ramuri în sus):
Extremul fiecărei bucăți: \( u = -\dfrac{m_k}{2c_k},\ y = y_{A_k} - \dfrac{m_k^2}{4c_k} \) — tot formula vârfului.
Indiferent de grad, panta de plecare din O este tot b. Dar o minge aruncată în gravitație constantă descrie întotdeauna o parabolă (grad 2). Curbele de grad 3, 4 sau 5 nu pot fi aruncări reale; în sandbox mingea doar „merge pe șină” de-a lungul curbei, ca să le poți vedea maximele, minimele și rădăcinile.
Cum îl folosești: pentru unghi, cauți în coloana „tg θ” numărul cel mai apropiat de b. Pentru viteză, cauți în tabelul pătratelor numărul cel mai apropiat de v₀². Toate răspunsurile din joc sunt numere întregi.